| Resumé |
La première partie de cette thèse se place dans le contexte du problème à deux corps en relativité générale. Nous établissons une identité variationnelle appelée ``Première Loi de la Mécanique'' qui fait le lien entre différents paramètres physiques caractérisant un système binaire d'objets compacts comme son énergie de liaison et son moment cinétique total, aux propriétés des corps, comme leur masse ou leur rotation propre. Notre résultat se base sur le modèle du ``squelette gravitationnel'' poussé à l'ordre quadrupolaire, combiné avec une généralisation d'une identité variationnelle établie pour des espaces-temps dotés d'une isométrie helico¿¿dale pour décrire des orbites circulaires. Nous présentons également un tour d'horizon des modèles de squelettes gravitationels et des différentes premières lois existant dans la littérature, et discutons des applications et de l'impact de la première loi à l'ordre quadrupolaire dans le contexte de l'astronomie gravitationnelle. La seconde partie de la thèse concerne un problème de gravitation Newtonienne, dans lequel il est question d'une classe particulière de potentiels gravitationels appelés ``potentiels isochrones''. Ceux-ci, introduits dans les années 1950 par Michel Hénon, sont déWini par la propriété que toute particule test y orbite avec une période radiale indépendante de son moment cinétique. Après avoir établi une classiWication complète de cette classe de potentiels, nous explorons la dynamique qu'ils génèrent et donnons une solution analytique des équations du mouvement exclusivement à l'aide d'outils géométriques. Puis, nous proposons une revisite du problème sous l'angle de la mécanique Hamiltonienne, permettant ainsi de voir avec un angle nouveaux certains résultats de mécanique classique, comme l'équation de Kepler, le théorème de Bertrand et les lois de Kepler, et de généraliser ceux-ci à tout orbite isochrone. EnWin, en calculant le forme normale de Birkhoff du système, nous donnons une démonstration purement mécanique du théorème fondamental de l'isochronie, basée sur l'étude des invariants de Birkhoff du système. |