Equation McKean-Vlasov, Modèle de Kuramoto, Graphons aléatoires, Dynamique à temps longs, Modèles à champ moyen

Les systèmes complexes sont devenus un sujet très étudié, non seulement dans les sciences appliquées, mais aussi en mathématiques. Récemment, de nouveaux résultats rigoureux ont été établis à propos de l'étude des systèmes de particules et des graphes aléatoires. Ils ont ainsi ouvert de nouvelles perspectives sur la modélisation des phénomènes complexes en mathématiques.Cette thèse porte sur une classe assez large de systèmes de particules qui interagissent entre elles, définis sur des séquences de graphes. En particulier, on se focalise sur des systèmes d'équations différentielles stochastiques et déterministes, dans lesquels une extra-structure code les connexions entre les différentes particules. La condition classique de champ moyen qui impose que tout unité soit connectée aux autres de la même façon, est relaxée au profit d'une hypothèse bien plus générale: les connexions dans le système sont définies à l'aide d'un réseau complexe, au lieu d'un graphe complet. En d'autres termes, une particule interagit avec une autre d'une façon proportionnelle au poids de la connexion dans le graphe sous-jacent.Plusieurs aspects dans cette classe de modèles se présentent comme nouveaux dans la recherche actuelle et nécessitent des techniques et outils plus avancés. Des nouvelles idées sont requises pour dévoiler la complexité intrinsèque de ces systèmes.Ce travail se focalise sur trois aspects fondamentaux : la relation avec le comportement de champ moyen, l'extension aux séquences des graphes inhomogènes et, pour conclure, l'étude de la dynamique à temps longs d'un modèle de synchronisation défini sur des graphes.