Algèbres de Hecke carquois, Partitions de racines, Corps de Newton-Okounkov, Multiplicités équivariantes, Représentations homogènes

Cette thèse porte sur l'étude de diverses conséquences des résultats de catégorifications monoïdales d'algèbres amassées par les algèbres de Hecke carquois, établis dans les travaux de Kang-Kashiwara-Kim-Oh [69]. Nous nous intéresserons en particulier à trois aspects de cette théorie: en premier lieu celui de la combinatoire, puis de la géométrie polytopale, et enfin celui de la théorie des représentations géométrique. Nous étudierons tout d'abord certaines relations combinatoires entre objets de nature a priori différentes: d'une part, les g-vecteurs au sens de Fomin-Zelevinsky, et d'autre part les partitions de racines qui paramétrisent les représentations simples de dimension finie des algèbres de Hecke carquois de type fini. Ces relations proviennent directement de certaines compatibilités remarquables entre différents ordres partiels naturels issus respectivement de la théorie des algèbres amassées et de la théorie des représentations. Nous montrons l'existence de telles relations dans le cas d'algèbres de Hecke carquois de type A_n. Nous établissons également une expression explicite pour les partitions de racines associées aux modules déterminantaux qui catégorifient une graine standard particulière de C[N]. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à la construction de polytopes de Newton-Okounkov en utilisant de manière naturelle la théorie des représentations des algèbres de Hecke carquois. Nous commencerons par étendre les résultats de la partie précédente au cas d'algèbres de Hecke carquois de tout type (fini) simplement lacé, et ce grâce aux récents résultats de Kashiwara-Kim [72]. Ceci joue un rôle important dans la preuve de plusieurs propriétés combinatoires et géométriques de ces polytopes. Nous montrons ainsi que les volumes de certains de ces polytopes sont reliés à des formules des équerres (colorée) issues de la théorie combinatoire des éléments complètement commutatifs des groupes de Weyl. Enfin, nous étudierons les modules déterminantaux catégorifiant les graines standard de C[N] à l'aide d'une notion géométrique a priori non reliée à la théorie des algèbres de Hecke carquois ni aux algèbres amassées et appelée multiplicité équivariante, introduite par Joseph [63], Rossmann [108] et Brion [17]. Baumann-Kamnitzer-Knutson [6] ont récemment défini un morphisme d'algèbre D sur C[N] relié aux multiplicités équivariantes des cycles de Mirkovic-Vilonen via la correspondance de Satake géométrique. Nous montrons qu'en types A_n et D_4, l'évaluation de D sur les mineurs drapeaux de C[N] prend une forme distinguée, semblable aux valeurs prises par D sur les éléments de la base canonique duale correspondant aux modules fortement homogènes des algèbres de Hecke carquois selon la construction de Kleshchev-Ram [78]. Ceci soulève également la question de certaines propriétés de lissité des cycles MV correspondant aux mineurs drapeaux de C[N]. Nous mettons également en évidence certaines relations entre les images par D des mineurs drapeaux d'une même graine standard et nous montrons qu'en tous types ADE ces relations sont préservées par mutation d'une graine standard à une autre.