Modèle des miroirs, Lace expansion, Approche perturbative, Coeficient de diffusion, Marche aléatoire en milieu aléatoire

Cette thèse étudie la diffusion dans le modèle des miroirs, modèle inspiré de la physique et introduit en 1988 par Ruijgrok et Cohen. Ce modèle est déterministe et réversible. Pour traiter ce modèle difficile, initialement défini uniquement en dimension 2, nous l'avons d'abord généralisé pour en faire un modèle en dimension quelconque. De premières études numériques permirent de conjecturer que le modèle est diffusif en dimension supérieur ou égale à 3. Nous avons par la suite exploré une approche perturbative du coefficient de diffusion basée sur la technique de lace expansion développée par Gordon Slade pour l'étude de la marche aléatoire auto-évitante. Face à la difficulté des calculs nous avons légèrement simplifié le modèle en abandonnant la contrainte de réversibilité. Nous avons obtenu ainsi un nouveau modèle que nous nommons le modèle des permutations. Nous avons ensuite transformé ces deux modèles pour en faire des marches aléatoires en milieu aléatoire, et ce via une approche systématique et généraliste. Grâce à ces modifications nous avons pu pousser l'approche perturbative jusqu'à obtenir une approximation satisfaisante de la valeur du coefficient de diffusion dans le modèle des permutations. Le résultat principal est l'existence d'une série dont tout les termes sont bien définis et dont les premiers termes fournissent l'approximation voulue. La convergence de cette série reste un problème ouvert. Les résultats analytiques sont appuyés par une approche numérique de ces modèles, ce qui permet de voir que la lace expansion donne des résultats de qualité. De nombreuses questions restent ouvertes, notamment le calcul des termes suivants du développement perturbatif et la généralisation de cette approche au modèle des miroirs, ce qui ne saurait poser problème, puis à une classe plus large de modèles.