Cycles et chemins dans les digraphes, idéaux monomiaux et partitions des nombres entiers
Cycles and paths in digraphs, monomial ideals and integer partitions
par Zahraa MOHSEN sous la direction de Hussein MOURTADA et de Amine El SAHILI
Thèse de doctorat en Mathématiques
ED 386 Sciences Mathematiques de Paris Centre

Soutenue le mercredi 14 décembre 2022 à Université Paris Cité , Université Libanaise

Sujets
  • Identités de Rogers-Ramanujan
  • Nombre chromatique
  • Partitions (mathématiques)
  • Théorie des graphes

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Mots clés
Cycle orienté, Chemin orienté, Digraphe fort, Nombre chromatique, Identités de Rogers-Ramanujan, Partitions entières, Partitions voisines, Idéaux monomiaux, Graphes simples, Séries de Hilbert
Resumé
Dans cette thèse, nous travaillons dans deux directions, toutes deux concernent des problèmes de combinatoire. La première direction est liée à l'étude d'un invariant important des graphes orientés qui est le nombre chromatique. Plus précisément, nous nous intéressons à l'étude de l'existence de certains chemins et cycles orientés dans les digraphes à nombres chromatiques bornés. La deuxième direction concerne l'étude des identités des partitions des nombres entiers à l'aide d'outils algébriques et combinatoires. Deux identités de partitions parmi les plus célèbres ont été trouvées par Rogers et Ramanujan ; nous prouvons des identités duales à celles de Rogers-Ramanujan. Ces nouvelles identités s'inspirent d'une correspondance entre trois types d'objets : un nouveau type de partitions, les idéaux monomiaux et certains graphes infinis. Dans cette direction, nous étudions également une famille d'idéaux en lien avec les espaces de jets du point double $Spec K[x]/x^2$ et déterminons les séries génératrices d'un certain type de partitions qui seraient en lien avec une version finie des identités Rogers-Ramanujan.