Mots clés |
Cycle orienté, Chemin orienté, Digraphe fort, Nombre chromatique, Identités de Rogers-Ramanujan, Partitions entières, Partitions voisines, Idéaux monomiaux, Graphes simples, Séries de Hilbert |
Resumé |
Dans cette thèse, nous travaillons dans deux directions, toutes deux concernent des problèmes de combinatoire. La première direction est liée à l'étude d'un invariant important des graphes orientés qui est le nombre chromatique. Plus précisément, nous nous intéressons à l'étude de l'existence de certains chemins et cycles orientés dans les digraphes à nombres chromatiques bornés. La deuxième direction concerne l'étude des identités des partitions des nombres entiers à l'aide d'outils algébriques et combinatoires. Deux identités de partitions parmi les plus célèbres ont été trouvées par Rogers et Ramanujan ; nous prouvons des identités duales à celles de Rogers-Ramanujan. Ces nouvelles identités s'inspirent d'une correspondance entre trois types d'objets : un nouveau type de partitions, les idéaux monomiaux et certains graphes infinis. Dans cette direction, nous étudions également une famille d'idéaux en lien avec les espaces de jets du point double $Spec K[x]/x^2$ et déterminons les séries génératrices d'un certain type de partitions qui seraient en lien avec une version finie des identités Rogers-Ramanujan. |