Algèbres de Hecke doublement affines, Algèbres de Cherednik, Algèbres de Hecke carquois, Faisceaux pervers, Correspondance de Springer

Le présent travail de thèse porte sur l'étude de la catégorie O des algèbres de Hecke doublement affines dégénérées (dDAHA) au point de vue de la théorie de Springer et celle des faisceaux pervers. Dans les premiers deux chapitres nous étudions de manière algébrique les dDAHA et leurs généralisations, algèbres de Hecke doubles carquois (QDHA). Nous introduisons le foncteur de Knizhnik--Zamolodchikov (KZ) pour les QDHA et démontrons qu'ils vérifient la propriété bicommutante dans chapitre 2. Les chapitres 3 et 4 sont consacrés à l'étude des faisceaux pervers sur les algèbres de Lie munies de graduations cycliques et la théorie de Springer pour les dDAHA avec certaines familles de paramètres. Dans le chapitre 5, nous expliquons comment le foncteur KZ se réalise en termes de faisceaux pervers et nous montrons comment des structures plus fines sur la catégorie O se déduisent de l'analyse faisceautique sur les algèbres de Lie cycliquement graduées.