Metric model theory, Polish groups & diversities
Théorie des modèles métriques, groupes polonais et diversités
par Andreas HALLBÄCK sous la direction de Todor TSANKOV
Thèse de doctorat en Mathématiques
ED 386 Sciences Mathematiques de Paris Centre

Soutenue le vendredi 02 octobre 2020 à Université Paris Cité

Sujets
  • Continu (mathématiques)
  • Espaces polonais (mathématiques)
  • Groupes d'automorphismes
  • Topologie de l'espace métrique

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Mots clés
Théorie des modèles métriques, Logique continue infinitaire, Groupes d'automorphismes de structures métriques séparables, Théorie des groupes polonais, Groupes localement Roelcke précompacts, Espace métrique d'Urysohn, Diversités, Classe de conjugaison dense, Génériques amples
Resumé
Nous étudions la théorie des modèles métriques et les groupes polonais comme groupes d'automorphismes de structures métriques séparables. Nous développons la logique continue infinitaire traitée dans [12, 11, 23, 27] et donnons une nouvelle preuve du théorème d'omission des types pour la logique continue infinitaire. Nous trouvons également une nouvelle facon de calculer la distance de type de la logique continue infinitaire. De plus, nous montrons une version infinitaire du théorème de Ryll-Nardzewski. Nous étudions également le complété de Roelcke d'un groupe polonais et donnons une caractérisation des groupes polonais localement Roelcke précompacts en utilisant la logique continue. Nous le faisons en montrant que le complété de Roelcke d'un groupe polonais peut être considéré comme un certain ensemble de types dans la théorie des modèles métriques. De plus, nous développons la théorie des modèles de l'espace métrique d'Urysohn U. Nous montrons que sa théorie TU élimine les quantificateurs, que U est un modèle premier et que tout modèle séparable de TU est une union disjointe de copies isomorphes à U. De plus, nous montrons que le groupe d'isométries de U est localement Roelcke précompact en appliquant notre résultat obtenu précédemment. Bien que le résultat soit déjà connu, nous en apportons une preuve nouvelle. Enfin, nous étudions la diversité d'Urysohn U. Les diversités sont une généralisation naturelle des espaces métriques, les valeurs positives sont attribuées non seulement aux paires, mais à tous les sous-ensembles finis. Nous développons la théorie du modèle de U et montrons, entre autres, que son groupe d'automorphismes Aut(U) est localement Roelcke précompact, encore une fois en appliquant notre résultat ci-dessus. Nous montrons également que Aut(U) est un groupe polonais universel et qu'il a une classe de conjugaison dense. Enfin, nous étudions le groupe d'automorphisme de la diversité rationnelle d'Urysohn UQ et montrons que Aut(UQ) a des génériques amples - une propriété riche de conséquences, certaines étant très importantes.