Variétés de Hodge, Variétés localement symétriques, Compactifications de Baily-Borel, Compactifications de Deligne-Mumford, Applications de périodes, Sous-variétés spéciales

Cette thèse étudie les aspects topologiques et géométriques de certains espaces intéressants issus de la théorie de Hodge, tels que les variétés localement symétriques, et leur généralisation, les variétés de Hodge ; ainsi que les applications de périodes qui y prennent valeur.Au chapitre 1 (travail commun avec Looijenga), nous étudions la compactification de Baily-Borel des variétés localement symétriques et ses variantes toroïdales, ainsi que la compactification de Deligne-Mumford de l'espace de module des courbes d'un point de vue topologique. Nous définissons un "type d'homotopie champêtre" pour ces espaces comme le type d'homotopie d'une petite catégorie. Nous généralisons ainsi un ancien résultat de Charney-Lee sur la compactification de Baily-Borel de Ag et récupérons (et reformulons) un résultat plus récent d'Ebert-Giansiracusa sur les compactifications de Deligne-Mumford. Nous décrivons également en ces termes une extension de l'application de périodes pour les surfaces de Riemann. Dans le chapitre 2 (travail commun avec Looijenga), nous donnons une preuve algébro-géométrique relativement simple d'un autre résultat de Charney et Lee sur la cohomologie stable de la compactification de Satake-Baily-Borel de Ag et montrons que cette cohomologie stable est munie d'une structure de Hodge mixte dont nous déterminons les nombres de Hodge.Dans le chapitre 3 (chapitre principal de cette thèse), nous étudions un problème d'intersections atypiques pour une variation de structures de Hodge V sur une variété quasi-projective complexe irréductible lisse S. Nous montrons que l'union des sousvariétés spéciales non-facteur pour (S,V), qui sont de type Shimura avec des applications de périodes dominantes, est une union finie de sous-variétés spéciale des S. Ceci démontre une conjecture de Klingler