Discrete determinantal point processes and their application to image processing
Processus ponctuels déterminantaux discrets et leur application au traitement des images
par Claire LAUNAY sous la direction de Bruno GALERNE et de Agnès DESOLNEUX
Thèse de doctorat en Mathématiques. Mathématiques appliquées
ED 386 Sciences Mathematiques de Paris Centre

Soutenue le lundi 22 juin 2020 à Université de Paris (2019-....)

Sujets
  • Bruit de grenaille
  • Déterminants (mathématiques)
  • Échantillonnage (statistique)
  • Inférence
  • Processus ponctuels
  • Texture (traitement d'images)

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Mots clés
Processus ponctuels déterminantaux, Pixels, Patchs, Modèles shot noise
Resumé
Les processus ponctuels déterminantaux (Determinantal Point Processes ou DPP en anglais) sont des modèles probabilistes qui modélisent les corrélations négatives ou la répulsion à l'intérieur d'un ensemble d'éléments. Ils ont tendance à générer des sous-ensembles d'éléments diversifiés ou éloignés les uns des autres. Cette notion de similarité ou de proximité entre les points de l'ensemble est définie et conservée dans le noyau associé à chaque DPP. Cette thèse étudie ces modèles dans un cadre discret, définis dans un ensemble discret et fini d'éléments. Nous nous sommes intéressés à leur application à des questions de traitement d'images, lorsque l'ensemble de points de départ correspond aux pixels ou aux patchs d'une image. Les Chapitres 1 et 2 introduisent les processus ponctuels déterminantaux dans un cadre discret général, leurs propriétés principales et les algorithmes régulièrement utilisés pour les échantillonner, c'est-à-dire pour sélectionner un sous-ensemble de points distribué selon le DPP choisi. Dans ce cadre, le noyau d'un DPP est une matrice. L'algorithme le plus utilisé est un algorithme spectral qui repose sur le calcul des valeurs propres et des vecteurs propres du noyau du DPP. Dans le Chapitre 2, nous présentons un algorithme d'échantillonnage qui repose sur une procédure de thinning (ou amincissement) et sur une décomposition de Cholesky mais qui n'a pas besoin de la décomposition spectrale du noyau. Cet algorithme est exact et, sous certaines conditions, compétitif avec l'algorithme spectral. Le Chapitre 3 présente les DPP définis sur l'ensemble des pixels d'une image, appelés processus pixelliques déterminantaux (Determinantal Pixel Processes ou DPixP en anglais). Ce nouveau cadre impose des hypothèses de périodicité et de stationnarité qui ont des conséquences sur le noyau du processus et sur les propriétés de répulsion générée par ce noyau. Nous étudions aussi ce modèle appliqué à la synthèse de textures gaussiennes, grâce à l'utilisation de modèles shot noise. Nous nous intéressons également à l'estimation du noyau de DPixP à partir d'un ou plusieurs échantillons. Le Chapitre 4 explore les processus ponctuels déterminantaux définis sur l'ensemble des patchs d'une image, c'est-à-dire la famille des sous-images carrées d'une taille donnée dans une image. L'objectif est de sélectionner une proportion de ces patchs, suffisamment diversifiée pour être représentative de l'information contenue dans l'image. Une telle sélection peut permettre d'accélérer certains algorithmes de traitements d'images basés sur les patchs, voire d'améliorer la qualité d'algorithmes existants ayant besoin d'un sous-échantillonnage des patchs. Nous présentons une application de cette question à un algorithme de synthèse de textures.