Cartes de grand genre : de la hiérarchie KP aux limites probabilistes
High genus maps : from the KP hierarchy to probabilistic limits
par Baptiste LOUF sous la direction de Guillaume CHAPUY
Thèse de doctorat en Informatique. Informatique fondamentale
ED 386 Sciences Mathematiques de Paris Centre

Soutenue le vendredi 26 juin 2020 à Université de Paris (2019-....)

Sujets
  • Analyse combinatoire énumérative
  • Probabilités combinatoires
  • Systèmes intégrables

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Mots clés
Cartes combinatoires, Hiérarchie KP, Bijections
Resumé
Cette thèse s'intéresse aux cartes combinatoires, qui sont définies comme des plongements de graphes sur des surfaces, ou de manière équivalente comme des recollements de polygones. Le genre g de la carte est défini comme le nombre d'anses que possède la surface sur laquelle elle est plongée.En plus d'être des objets combinatoires, les cartes peuvent être représentées comme des factorisations de permutations, ce qui en fait également des objets algébriques, qu'on peut notamment étudier grâce à la théorie des représentations du groupe symétrique. En particulier, ces propriétés algébriques des cartes font que leur série génératrice satisfait la hiérarchie KP (et sa généralisation, la hiérarchie 2-Toda). La hiérarchie KP est un ensemble infini d'équations aux dérivées partielles en une infinité de variables. Les équations aux dérivées partielles de la hiérarchie KP se traduisent ensuite en formules de récurence qui permettent d'énumérer les cartes en tout genre.D'autre part, il est intéressant d'étudier les propriétés géométriques des cartes, et en particulier des très grandes cartes aléatoires. De nombreux travaux ont permis d'étudier les propriétés géométriques des cartes planaires, c'est à dire de genre 0. Dans cette thèse, on étudie les cartes de grand genre, c'est à dire dont le genre tend vers l'infini en même temps que la taille de la carte. Ce qui nous intéressera particulièrement est la notion de limite locale, qui décrit la loi du voisinage d'un point particulier (la racine) des grandes cartes aléatoires uniformes.La première partie de cette thèse (Chapitres 1 à 3) est une introduction à toutes les notions nécessaires : les cartes, bien entendu, mais également la hiérarchie KP et les limites locales. Dans un deuxième temps (Chapitres 4 et 5), on cherchera à approfondir la relation entre cartes et hiérarchie KP, soit en expliquant des formules existantes par des constructions combinatoires, soit en découvrant de nouvelles formules. La troisième partie (Chapitres 6 et 7) se concentre sur l'étude des limites locales des cartes de grand genre, en s'aidant notamment de résultats obtenus grâce à la hiérarchie KP. Enfin le manuscrit se conclut par quelques problèmes ouverts (Chapitre 8).