Some contributions to geometric variational problems involving nonlocal energies
Quelques contributions à des problèmes variationnels géométriques impliquant des énergies non locales
par Marc PEGON sous la direction de Vincent MILLOT
Thèse de doctorat en Mathématiques. Mathématiques appliquées
ED 386 Sciences Mathematiques de Paris Centre

Soutenue le mercredi 11 décembre 2019 à Université Paris Cité

Sujets
  • Applications harmoniques
  • Calcul des variations
  • Singularités (mathématiques)
  • Surfaces minimales

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Mots clés
Énergies non locales, Problèmes à bord libre, Régularité partielle
Resumé
Cette thèse est dédiée à l'étude de deux problèmes variationnels géométriques impliquant des énergies non-locales : d'une part, la géométrie et les singularités des applications harmoniques fractionnaires, et d'autre part, un problème isopérimétrique avec un potentiel intégrable inspiré du modèle de goutte liquide pour le noyau atomique imaginé par Gamow. Concernant le premier sujet, nous améliorons des résultats de régularité partielle connus pour les applications 1/2-harmoniques minimisantes dans le cas où la variété d'arrivée est une sphère, en obtenant une estimation plus précise de la dimension de Hausdorff de l'ensemble singulier, c'est-à-dire l'ensemble des points de discontinuité. Nous caractérisons également les applications tangentes 1/2-harmoniquesminimisantes de R2 dans le cercle unité S1, ce qui éclaire le comportement des applications 1/2-harmoniques minimisantes de R2 dans S1 près de leurs singularités. Pour s ¿ ]0, 1[, nous prouvons enfin des résultats de régularité partielle pour les applications s-harmoniques stationnaires ou minimisantes, et obtenons des estimées fines sur la dimension de Hausdorff de l'ensemble des singularités, en fonction de s. Concernant le deuxième sujet de la thèse, nous étudions un problème de minimisation sur les ensembles de périmètre fini sous contrainte de volume, dans lequel la fonctionnelle est constituée de la somme d'un terme de cohésion (le périmètre) et d'un terme répulsif donné par un noyau symétrique et intégrable sur Rn. Nous montrons que sous des hypothèses raisonnables sur le comportement près de l'origine et sur certains des moments de ce noyau - qui incluent les potentiels de Bessel - le problème admet des minimiseurs de grande masse (ou volume). De plus, après renormalisation, ces minimiseurs convergent vers la boule unité lorsque la masse tend vers l'infini. En étudiant la stabilité de la boule, nous montrons que sans ces hypothèses, il peut y avoir rupture de symétrie, c'est-à-dire qu'il y a des cas pour lesquels le problème admet desminimiseurs qui ne sont pas la boule