Théorie des Situations didactique, Notion de périodicité, Difficultés de compréhension des élèves, Fonctions sinus et cosinus

Les thèmes « Trigonométrie » et « Fonctions trigonométriques » sont intéressants mais peu traités en didactique des mathématiques, notamment dans le contexte français. Ils sont pourtant présents de longue date dans les curriculums français et cambodgien. Nous nous intéressons à l'apprentissage par les élèves de ces thèmes mathématiques dans l'enseignement secondaire, ainsi qu'aux difficultés de compréhension qui leurs sont liées.Les objets d'étude du secondaire « cosinus et sinus d'un angle géométrique », « cosinus et sinus d'un nombre réel », « cosinus et sinus d'un angle orienté » et « fonctions cosinus et sinus usuelles d'une variable réelle » constituent des notions délicates du point de vue mathématique autant que didactique : il y a des changements de cadres, des changements d'objets mathématiques (grandeurs « angle » et « longueur » - et leurs mesures - nombres réels) avec les mêmes signes « » et « » utilisés pour désigner des objets d'étude différents. Nous nous focalisons sur les passages entre les différents cadres, sur les difficultés des élèves dans l'apprentissage, et en particulier, sur le passage de la trigonométrie du cercle trigonométrique vers les fonctions cosinus et sinus d'une variable réelle, en France, en Terminale Scientifique (correspondant au programme de Première « spécialité Mathématiques » en vigueur à partir de la rentrée 2019) et en 11e au Cambodge (correspondant à la Première en France).Pour notre étude, nous nous appuyons principalement sur l'organisation praxéologique de la Théorie Anthropologique du Didactique. Nous déterminons trois organisations mathématiques locales (OML) correspondant à la trigonométrie du triangle, à la trigonométrie du cercle et enfin aux fonctions trigonométriques à partir de l'étude de curriculums français et cambodgiens d'enseignement de la trigonométrie et des fonctions sinus et cosinus dans le secondaire, auxquelles nous associons un travail sur une sélection de manuels. Nous présentons une théorie mathématique permettant de justifier, construire et coordonner rigoureusement les trois OML. Puis nous élaborons, à l'aide des outils d'analyse des tâches de la Double Approche didactique et ergonomique, un questionnaire portant sur les trois OML déterminées, destiné à des élèves de Terminale Scientifique, afin d'évaluer les effets de l'enseignement de la trigonométrie et des fonctions sinus et cosinus dans le secondaire. L'étude des curriculums, l'étude mathématique et le questionnaire, dans les contextes français et cambodgien, nous conduisent à concevoir, à l'aide des outils d'analyse de la structuration des milieux de la Théorie des Situations Didactiques, une situation didactique se focalisant sur la notion de périodicité afin de faire découvrir les notions de fonctions sinus et cosinus via un registre graphique, au niveau Terminale Scientifique en France et au niveau 11e au Cambodge.Les résultats sur l'ensemble de notre travail de recherche prouvent les difficultés de compréhension chez les élèves sur ces deux thèmes via les trois OML et révèlent les obstacles didactique et épistémologique dans l'enseignement et l'apprentissage des objets cosinus et sinus ainsi que des objets mathématiques qui les accompagnent. Des recherches ciblées, se focalisant sur les deux obstacles indiqués précédemment, du côté des élèves et du côté des enseignants, pourront conduire à une organisation didactique permettant d'éviter l'obstacle didactique dans l'enseignement et l'apprentissage des deux thèmes dans le secondaire.