Mathématiques financières, Contrôle optimal stochastique, EDP, Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman, Dualité convexe, Couverture d'options, Gestion de portefeuille, Inférence bayésienne

Cette thèse traite du contrôle optimal stochastique à travers plusieurs problèmes de mathématiques financières, et plus précisément, des problèmes d'exécution optimale. La première partie traite des block trades (opérations sur blocs de titres) qui consiste à liquider (ou acheter) une grande quantité d'actions en temps imparti. Pour évaluer a priori ce que rapporte l'opération, on ne peut considérer que vendre le bloc rapporte exactement le montant qui correspond à la valeur de marché des titres vendus à l'instant initial. D'une part, il y a un risque de mouvement de prix, d'autre part, le fait de vendre rapidement une grande quantité affecte le cours de l'action négativement. Nos travaux, présentés dans le Chapitre 1, aboutissent à une méthode numérique pour approcher la trajectoire de liquidation optimale. Elle utilise la dualité convexe, ce qui permet d'étudier le problème de liquidation optimale avec des hypothèses plus faibles que dans le cadre initial de Guéant. Après avoir étudié l'exécution des actions elles-mêmes, nous nous sommes naturellement tournés vers la couverture des produits dérivés, avec le même cadre de modélisation. Le Chapitre 2 présente le cas des options européennes vanilles, et le Chapitre 3 présente un cas d'option plus complexe qui est l'ASR. Enfin, dans la troisième partie, nous considérons un problème d'allocation de portefeuille, avec un filtre bayésien sur le rendement espéré des actifs. Notre approche présentée dans le Chapitre 4 utilise les équations aux dérivées partielles (EDP), et diffère de l'approche plus classique qui consiste à passer sous une mesure martingale. En particulier, la méthode EDP permet l'introduction des coûts de liquidité.