Dynamiques sur les surfaces, Growth gap, Rigidité, Entropie topologique, Transitivité stable, Ergodicité stable, Accessibilité, Mesures de SRB, Réponse linéaire, Mode-locking

Cette thèse concerne l'étude de plusieurs questions naturelles dans les systèmes dynamiques. Elle est divisée en 3 parties. Dans la première partie, on présente d'abord un théorème de "growth gap" pour les difféomorphismes de surface de classe C2 qui préservent l'aire, dans un travail réalisée en collaboration avec Avila, Fayad, Le Calvez et Xu. Puis, nous montrons, dans un travail commun avec Fayad, comment affiner ce théorème de growth gap pour obtenir un critère explicite pour montrer la positivité de l'entropie topologique d'un difféomorphisme de surface de classe C2 qui préserve l'aire. Enfin, on présente un exemple non-trivial de pseudo-rotation irrationnelle C¥ sur le tore de dimension 2, qui est semi-conjugué à une translation minimale,mais ne l'est pas topologiquement conjugué. Ce dernier résultat donne une réponse partielle à une question de Norton et Sullivan. Dans la deuxième partie, on étudie quelques questions liées à l'aspect ergodique des systèmes partiellement hyperboliques et des actions de groupe sur une variété. Nos travaux contiennent les trois résultats suivants : 1. on donne un critère pour la transitivité stable du groupe agissant sur une variété par les difféomorphismes qui préservent le volume. On l'utilise pour généralise un résultat de Dolgopyat et Krikorian, et on vérifie sa généricité en présence de certaines structures supplémentaires. 2. On étudie l'existence et la dépendance lisse des mesures SRB pour une classe de systèmes partiellement hyperboliques. On donne une réponse partielleà une question de Dolgopyat sur la différentiabilité des mesures SRB pour les systèmes mostly-contracting. 3. On présente une nouvelle méthode pour aborder la conjecture stable d'ergodicité de Pugh-Shub, ce qui nous permet de répondre en partie à deux questions ouvertes. Cette partie est un travail collaboratif avec Leguil.Dans la troisième et dernière partie, on recueille quelques résultats liés aux opérateurs de Schrödinger. 1. On montre la généricité C0 du phénomène de mode-locking sous certaines conditions très générales. On montre également la généricité Cr du mode-locking pour une grande classe de systèmes. 2. On montre comment calculer l'exposant transport de la dynamique quantique pour tout potentiel analytique de 1-fréquence avec un spectre pure absolument continu. Il s'agit d'un travail commun avec Zhao.