Beta-ensemble, Valeurs extrêmes, Grandes déviations, Processus de Poisson

L'objet principal de cette thèse est l'étude des statistiques extrêmes du beta-ensemble lorsque, simultanément, la dimension n tend vers l'infini et la température inverse beta tend vers 0 avec n selon différents régimes de décroissance. La formulation de nos résultats de type double scaling limit repose essentiellement sur la Théorie des Valeurs Extrêmes, particulièrement en terme de convergence de Poisson, ainsi que la Théorie des Grandes Déviations. Dans le Chapitre I, nous considérons beta négligeable devant ou équivalent à 1/n. Les outils de la théorie des valeurs extrêmes dans le cas i.i.d. sont adaptés au cas non identiquement distribué afin d'établir la convergence poissonienne du processus extrême des entrées sous-diagonales du modèle matriciel construit par Edelman et Dumitriu, interprétées comme un tableau triangulaire. En particulier, nous donnons la normalisation de façon explicite. Cela nous permet d'estimer l'ordre de grandeur, ie: le premier terme d'un développement asymptotique, de la plus grande valeur du beta-ensemble. Le Chapitre II se concentre sur le régime beta négligeable devant 1/n pour lequel nous montrons que les statistiques asymptotiques locales des plus grandes valeurs, proprement renormalisées, du beta-ensemble sont de Poisson. Dans la lignée du travail de Benaych-Georges et Péché, nous étudions le processus extrême associé, muni du choix approprié de normalisation, à travers ses fonctions de corrélation afin d'établir sa convergence vers un processus de Poisson. En particulier, les plus grandes particules présentent des fluctuations de type Gumbel dans ces régimes asymptotiques. Par ailleurs, la normalisation met en évidence deux régions ou sous-régimes pour les valeurs extrêmes avec différents processus de Poisson limites. Enfin, nos résultats se prolongent au cas où la température inverse est nulle étendant ainsi un résultat classique de la littérature sur le maximum i.i.d. de variables aléatoires gaussiennes. S'inspirant du travail de Ben Arous, Dembo et Guionnet, nous établissons dans le Chapitre III un principe de grandes déviations pour la plus grande valeur propre du beta-ensemble dans le régime beta dominant 1/n, à vitesse n*beta. La bonne fonction de taux est explicitement donnée. En particulier, la plus grande particule converge vers 2, le bord droit du demi-cercle de Wigner.