Études mathématiques et numériques de problèmes non-linéaires et non-locaux issus de la biologie
Mathematical and numerical studies of non-linear and non-local problems involved in biology
par Muller Nicolas sous la direction de Raoult Annie
Thèse de doctorat en Mathématiques
École doctorale de Sciences Mathématiques de Paris Centre

Soutenue le Thursday 21 November 2013 à Université Paris Descartes ( Paris 5 )

Sujets
  • Athérosclérose
  • Polarité (biologie)
  • Équations différentielles paraboliques
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Mots clés
Polarisation cellulaire, Équation de convection-diffusion, Keller-Segel, Méthode d'entropie, Comportement asymptotique, Athérosclérose, Équation en âge
Resumé
Dans cette thèse nous étudions l'influence de l'environnement sur le comportement d'une cellule dans deux situations différentes. Dans chacune de ces deux situations, apparaît un couplage non-linéaire sur le champ d'advection lié à un terme non-local provenant du bord du domaine. Dans une première partie, nous modélisons la polarisation cellulaire durant la conjugaison de la cellule de levure. Nous utilisons un modèle de type convection-diffusion avec un terme de convection non-linéaire et non-local. Ce modèle présente des similarités avec le modèle de Keller-Segel, la source du potentiel attractif étant sur le bord du domaine. Nous étudions le cas de la dimension un en utilisant des inégalités de Sobolev logarithmiques et HWI. En nous appuyant sur un raisonnement heuristique, nous ramenons l'étude de notre modèle en dimension deux au bord du domaine. Nous validons le modèle à l'aide des résultats expérimentaux obtenus par M. Piel en utilisant un bruit dynamique dans nos simulations numériques. Nous étudions ensuite le problème du dialogue cellulaire entre cellules de levure de sexe opposé. Dans une seconde partie, nous étudions la réaction immunitaire durant l'athérosclérose. Nous construisons puis développons un modèle structuré en âge pour décrire l'inflammation. Pour des paramètres particuliers, nous déterminons le comportement en temps long de notre système en utilisant une fonctionnelle de Lyapunov.