| Resumé |
Ce travail s'inscrit dans le cadre de l'analyse des équations cinétiques, qui sont un cas particulier d'équations aux dérivées partielles. L'équation de Boltzmann se propose de modéliser des gaz fortement dilués. Ses solutions présentent un comportement intéressant, aussi bien du point de vue physique que mathématique : elles évoluent de façon irréversible vers un état d'équilibre bien déterminé. Cependant, l'équation de Boltzmann est obtenue formellement à partir d'une modélisation microscopique de la matière, où les interactions entre les atomes constituant le gaz étudié sont temporellement réversibles. De ce paradoxe apparent est née la motivation d'une obtention (on parle de dérivation) mathématiquement rigoureuse de l'équation de Boltzmann.Ce manuscrit s'attache à obtenir cette dérivation dans le cadre d'un domaine à bord (précédemment obtenue par Lanford dans le cas d'un domaine sans bord, qui est historiquement le premier résultat d'une dérivation rigoureuse de l'équation de Boltzmann) avec lequel les particules, modélisées par des sphères dures, interagissent par réflexion spéculaire. Le domaine étudié ici sera le demi-espace.Cette dérivation s'appuie sur l'étude de suites d'équations, les hiérarchies BBGKY et de Boltzmann. Après une présentation de l'obtention formelle de ces hiérarchies dans le cas d'un domaine à bord, un soin tout particulier a été apporté à la définition rigoureuse de ces hiérarchies dans un cadre fonctionnel approprié. Dans une seconde partie, la preuve de la convergence des solutions de la hiérarchie BBGKY vers celles de la hiérarchie de Boltzmann est présentée en détail. En particulier, le contrôle géométrique des recollisions dans le cas du demi-espace est traité de la façon la plus exhaustive possible. |