Eigenvalues and eigenvectors of large matrices under random perturbations
Valeurs propres et vecteurs propres de grandes matrices soumises à des perturbations aléatoires
par Alkéos MICHAÏL sous la direction de Florent BENAYCH-GEORGES
Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées
ED 386 Sciences Mathématiques de Paris Centre

Soutenue le Friday 06 July 2018 à Sorbonne Paris Cité

Sujets
  • Bifurcation, Théorie de la
  • Vecteurs propres

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Mots clés
Matrices aléatoires, Théorie de la perturbation, Matrices de Wigner, Matrices bandes, Transformée de Hilbert, Champ libre gaussien, Densité spectrale, Valeurs propres, Vecteurs propres, Mesure spectrale empirique, Mesure spectrale contre un vecteur, Développement perturbatif
Resumé
La présente thèse est consacrée à l'étude de l'effet d'une perturbation sur le spectre d'une matrice hermitienne perturbée par une matrice aléatoire de petite norme opérateur et dont les entrées dans la base propre de la première matrice sont indépendantes, centrées et possèdent un profil de variance. Ceci est réalisé au travers de développements perturbatifs de divers types des lois spectrales des grandes matrices perturbées considérées. Dans un premier temps, nous démontrons différents développements perturbatifs de la mesure spectrale empirique dans les cas du régime perturbatif et du régime semi-perturbatif et mettons en évidence des modèles heuristiques bien connus en physique, comme la transition entre les régimes semi-perturbatifs et perturbatifs. Dans un deuxième temps, nous proposons une étude approfondie du régime semi-perturbatif et prouvons le fait nouveau que ce régime peut être décomposé en un nombre infini de sous-régimes. Enfin, nous démontrons, au travers d'un développement perturbatif des mesures spectrales associées à un vecteur donné, un développement perturbatif des coordonnées des vecteurs propres des matrices perturbées que nous considérons.