Traitement d'image, Super-résolution, Déconvolution, Microscopie à balayage laser, Problème inverse, Parcimonie, Méthode de Monte Carlo par chaîne de Markov

Cette thèse s'intéresse à des techniques non linéaires de reconstruction d'images, appliquées au problème de la super-résolution en microscopie, qui vise à dépasser la limite de résolution de Abbe en combinant des techniques de mesure et de traitement d'images. Nous considérons un système à fluorescence avec une méthode d'Image Scanning Microscopy (ISM), produisant des micro-images obtenues en scannant un échantillon biologique et en y projetant une distribution lumineuse. La forme de cette distribution peut être assez singulière lorsqu'elle est créée par un modelage de faisceau laser, rendu possible grâce à un phénomène optique appelé diffraction conique. Un cadre mathématique s'appuyant sur la transformée de Fourier à quatre dimensions est proposé, permettant de comparer théoriquement les méthodes ISM, en quantifiant leur impact en terme de résolution. Nous considérons également la modélisation mathématique exacte de ces méthodes et en particulier les questions de discrétisation, permettant ensuite de simuler un système ISM. Cette modélisation est indispensable lorsque l'on cherche à résoudre le problème inverse induit par la super-résolution. Nous abordons sa résolution avec des contraintes très faibles, à savoir uniquement la positivité de l'image recherchée. Nous mettons en évidence un artefact, appelé night sky, produit par l'estimateur du Maximum A Posteriori (MAP). Nous montrons néanmoins que cet artefact peut être évité en imposant à l'image super-résolue d'être à bande limitée, contrainte convexe qui peut être ajoutée à la positivité moyennant un algorithme de projection adapté. Nous introduisons ensuite un nouvel estimateur, le E-LSE, pour Emitters-Least-Square Error, qui minimise l'erreur quadratique moyenne a posteriori et qui est adapté aux images parcimonieuses, une caractéristique souvent satisfaite par les images biologiques obtenues en microscopie à fluorescence. Nous montrons qu'en dépit de la dimension élevée et du caractère non convexe de la contrainte de parcimonie, cet estimateur E-LSE peut-être évalué numériquement par un algorithme de type MCMC (Markov chain Monte Carlo). L'estimateur E-LSE permet de limiter certains artefacts spécifiques du MAP et, sur plusieurs exemples, produit une image mieux résolue.